地球という曲面上の幾何学

私が史上最高？の恥をかいたエントリであるところのこの問題ですが、まさにこの問題自体も取り上げて、地球上という曲面上で起こる不思議な幾何学、ある場所から東に行くということと、常に東に軌道修正しながら行くということはどう違うのか、というあたりを判り易く、かつ詳しく取り上げているページがありました。

曲面のいろいろ

大昔、地面は平らだと思われていました。今ではそのように思っている人はいません（？）。
しかし今でも、地球の反対側の人は上下逆さまに生活していることを思うと、不思議な気がしませんか。
人間は球面状の地表つまり曲面上で生活しているため、平面上では味わえない？面白い現象に遭遇することがあります。

ここでは、曲面や曲がった空間における不思議な幾何学の一端を見ていきましょう。

3D画像や動画などを用いて判り易く解説する工夫もされているので、この辺の議論判らなかった方は必見です。

ついでに先のエントリの時は、ミスリーディングな図など描いてみなさんを混乱させておきながら、勝手に判った！と納得してその後放り投げてしまったので、この場を借りて何を勘違いしていたかについて、私の頭の中を解説します。

上の図中、左上の図が前回のエントリでも載せた図ですが、その下に別の方向から見た図も加えてみました。
この中で、1がある地点から東に向かう大円に沿った軌跡、2がある地点から緯線に沿った場合の軌跡です。
ここで、ある地点から東に向かって、その後は方向修正せず脇目もふらずにまっすぐ進めば、その軌跡は1に沿う、というのは間違いありません。
ですが、これは飽くまで軌跡であって、これをベクトルと勘違いしてしまっていたのが私の間違いでした。
北半球のある地点から東に行けば、その東に行くベクトルは地軸から見て南方向のベクトル成分を持つはず、なのにどうして常に東に軌道修正した場合の軌跡が、全く南に行かずに緯線に沿うの？と思ってました。

でも考えたら、大円に沿う場合も緯線に沿う場合も、ある地点から東に行った際の極限の微少なベクトルは、上図右側の、緑で描いたベクトルになるわけですよね。
ある地点を通る、経線に垂直な大円も緯線も、その地点での接線は同じであり、それに沿うベクトルは南方向の成分等持っていなかったわけです。
まず、ここで勘違いしていました。

しかし、これに気付いた後も、恥ずかしながらまだ納得がいきませんでした。
大円も緯線も接線は同じになるのは判った、でも同じなのであれば、なぜ軌跡は大円ではなく緯線に沿うのか？というのがどうしてもイメージできず、納得できませんでした。
それからさらに何時間か悩んだ挙句、はっと気付いたのが、ある地点から微少に東に進みながら、常に軌道修正し続けるというのは、ある地点で経線と直行する大円を、地軸を中心にくるくる回した際の、大円の北端の点が描く軌跡と等しいんじゃないかということでした。
それで考えてみると、確かに大円をくるくる回した上端の軌跡は緯線と一致します。
それでようやく納得できました。

なんかビジュアル的なイメージができないと納得できない質なので、理解するのに時間がかかり恥の上塗りをたくさんしてしまいました。
まあそういう性分の人は私だけではないと思うので、その意味でも先に紹介したサイトは、動画や立体図を駆使して説明されているので、非常に判り易いのではないかと思います。